Berechnen der Durchbiegung bzw. perfekten Bewegung., Juni 2022

Der neue Blogartikel beschäftigt sich mit Berechnungen, die Ingenieure und Konstrukteure von Industriemaschinen durchführen müssen, um die Leistungen der Maschine zu verbessern. Heute geht es um die Berechnung der Durchbiegung (Verformung).

Bei der Berechnung der Durchbiegung können zwei Fälle unterschieden werden: ein Träger, der an beiden Enden aufliegt, oder ein Träger, der nur an einem Ende aufliegt. Im Folgenden geht es um diese beiden Fälle und darum wie sie berechnet werden.

Bild 1

Bei der Berechnung der Durchbiegung können zwei Fälle unterschieden werden: ein Träger, der an beiden Enden aufliegt, oder ein Träger, der nur an einem Ende aufliegt. Im Folgenden geht es um diese beiden Fälle und darum wie sie berechnet werden.

Bevor wir zur mathematischen Formel für die Berechnung kommen, müssen wir die Art der Befestigung des Trägers betrachten. Das kann eine starre (eingebaute) Befestigung oder eine nicht nicht starre (aufgelegte) Befestigung sein. Bei einem Brückenkran oder einem Portal wie in Abbildung 1 dargestellt ist die Befestigung nicht starr. Es erfolgt eine Bewegung in X-Richtung, die Befestigung ist folglich nicht starr.

In der Abbildung 2 sehen wir den Fall eines aufgelegten Trägers und in der Abbildung 3, einen fest eingebauten Träger.

Bild 2

Bild 3

dabei ist
f – Durchbiegung, mm
F – mittig im Träger wirkende punktuelle Kraft, N
m – Gesamtgewicht des Trägers (verteilt auf die gesamte Trägerlänge), kg
g –Schwerkraftbeschleunigung (9,81 m/s2)
l – Abstand zwischen den Auflagepunkten, mm
E – Elastizitätsmodul, N/mm² *
I – Flächenträgheitsmoment, mm4
Der erste Bruch der Gleichung entspricht der punktuell auf den Träger einwirkenden Kraft und der zweite, dem Eigengewicht des Trägers.

* Das Elastizitätsmodul für Stahl ist 205.000 und für Aluminium, 70.000 N/mm².

dabei ist
f – Durchbiegung, mm
F – mittig im Träger wirkende punktuelle Kraft, N
m – Gesamtgewicht des Trägers (verteilt auf die gesamte Trägerlänge), kg
g –Schwerkraftbeschleunigung (9,81 m/s2)
l – Abstand zwischen den Auflagepunkten, mm
E – Elastizitätsmodul, N/mm2
I – Flächenträgheitsmoment, mm4

Wir können also schlussfolgernd feststellen, dass die Biegung im Fall eines aufliegenden Trägers 4 bis 5-mal größer ist als im Fall eines eingebauten Trägers.

Die Abbildung 4 zeigt das Beispiel eines einseitig aufliegenden Trägers.

Bild 4

In diesem Fall kann der Träger nur über eine starre Befestigung verfügen (eingebaut):

f – Durchbiegung, mm
F – am freischwebenden Ende des Trägers wirkende punktuelle Kraft, N
m – Gesamtgewicht des Trägers (verteilt auf die gesamte Trägerlänge), kg
g – Schwerkraftbeschleunigung (9,81 m/s2)
l – Abstand zwischen den Auflagepunkten, mm
E – Elastizitätsmodul, N/mm2
I – Flächenträgheitsmoment, mm4

Wichtig:
Neben der punktuellen Kraft, die auf den Träger einwirkt, ist auch die Wirkung des Eigengewichts des Trägers zu berücksichtigen. In den meisten Fällen verursacht das Eigengewicht eine größere Durchbiegung als die zu tragende Last.

Auf diese Frage gibt es keine allgemeingültige Antwort. Das hängt von der Anwendung ab. So kann beispielsweise für einen Brückenkran von 15 Metern eine Durchbiegung von 100 mm annehmbar sein, aber im Fall eines dynamischen Portals wäre eine solche Durchbiegung eine Katastrophe. Grundsätzlich sind dabei folgende Aspekte zu berücksichtigen:

In erster Linie müssen wir die Anwendung analysieren und beurteilen, welche Auswirkungen der Höhenverlust aufgrund der Durchbiegung auf den Prozess haben kann. Bei einer Laserschnittanwendung beispielsweise kann eine Durchbiegung von 3 mm kritisch sein, weil dadurch der Brennpunkt des Lasers verschoben wird. In einer Anwendung mit Wasserstrahlschneiden hingegen ist diese Biegung nicht mehr so kritisch.

In diesem Fall ist es wichtig zu analysieren, ob über der Brücke (oder dem Träger) eine vertikale Bewegung erfolgt (Zylinder oder linearer Stellantrieb). Je größer die Durchbiegung ist, um so elastischer wird der Träger, der infolgedessen an Steifigkeit verliert. Wenn die Bewegung des linearen Stellantriebs dynamisch ist und insbesondere ständige Richtungswechsel beinhaltet, dann kann das dazu führen, dass der Träger in Resonanz kommt. Grundsätzlich gilt für dynamische Anwendungen, dass die Durchbiegung 1 mm nicht überschreiten darf und im Fall langsamer Anwendungen darf sie 3 mm nicht überschreiten. Diese Daten sind jedoch nicht als feste Regel zu betrachten; jede Anwendung erfordert eine eigene umfassende Untersuchung.

In manchen Fällen kann eine zu starke Durchbiegung eine Reihe von Problemen und Schwierigkeiten für die Anwendung nach sich ziehen. Verlust an Steifigkeit, Verlust an Präzision, Resonanzen oder Eigenfrequenzen, die die Leistungen der Maschine beeinträchtigen können. Um die Durchbiegung zu reduzieren können folgende Maßnahmen ins Auge gefasst werden:

Wenn statt der Verwendung eines massiven Trägers ein Träger aus Zugstangen und Winkelverstärkungen eingesetzt wird (wie der Turm eines Baukrans), können wir eindeutig das Massenträgheitsmoment erhöhen. Es gibt eine Vielzahl genormter Stahl- oder Aluminiumprofile mit hohen Massenträgheitswerten.

Das Senken des Trägergewichts kann ebenfalls eine gute Lösung sein. Eine Gewichtsreduzierung durch das Leeren von Massivstrukturen, die Verwendung alternativer Werkstoffe usw. können die Biegung positiv reduzieren.

Die Elastizitätseigenschaften von Stahl sind dreimal höher als die von Aluminium. Die Verwendung von Stahl kann die Durchbiegung reduzieren. Dabei ist allerdings zu berücksichtigen, dass damit das Gewicht steigt. Ziel ist also, das Elastizitätsmodul mehr zu erhöhen als das Gewicht.

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Wir sehen uns im nächsten Kapitel!

Bis dahin, alles Gute!

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